詩投稿掲示板 - 過去ログ [488]

9036 : 線型代数演習  φοιτητής '16/08/16 14:13:10 *1

[5-2]
W:={aX+bX^2|a,b∈F5}とするとき,Wは多項式の和とスカラー倍によってF5-線型空間となる.W*の基底を一組求めよ.

[解答]
p,qを次で定義すると,W*の基底となることを示す.∀aX+bX^2∈Wに対してp(aX+bX^2)=a,q(aX+bX^2)=b.

(i)p,qが一次独立であること
c,d∈F5かつcp+dq=0とする。このとき、(cp+dq)(X)=0.従ってc=0.また、(cp+dq)(X^2)=0.従ってd=0.以上からp,qは一次独立.

(ii)p,qがW*の生成系であること
∀f∈W*を取る.f(X)=u,f(X^2)=vとすると,∀aX+bX^2∈Wに対してf(aX+bX^2)=au+bvとなる.ところで,(up+vq)(aX+bX^2)=au+bvより,f=up+vqとなる.以上からp,qはW*の生成系. ■

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